采樣控制系統(tǒng)的提升H∞法設(shè)計(jì)
劉彥文，劉 勝，高振國
（哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱15000）
摘 要：考慮到常規(guī)的加權(quán)H∞；設(shè)計(jì)并不能滿足提升變換所要求的應(yīng)用條件，針對滿足提升變換條件的采樣控制系統(tǒng)的擾動抑制問題，進(jìn)行了提升法H∞設(shè)計(jì)分析指出，只有加權(quán)系數(shù)的擾動抑制問題和輸入端加權(quán)（函數(shù)）的擾動抑制問題能夠滿足提升H∞更換的應(yīng)用條件，因此可以用提升法進(jìn)行H∞設(shè)計(jì)。通過具體的實(shí)例，針對兩種問題分別進(jìn)行了提升法H∞設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，加權(quán)系數(shù)的擾動抑制問題，雖然提升變換后的范數(shù)值等于原采樣系統(tǒng)的L2誘導(dǎo)范數(shù)，但所得設(shè)計(jì)結(jié)果并不能代表系統(tǒng)真正的性能指標(biāo)，不是真正意義上的H∞綜合；輸入端加權(quán)函數(shù)的擾動抑制問題所得的結(jié)果是正確的，反映了svnthesis所想要的性能，而且能夠反映系統(tǒng)在采樣時(shí)刻間的真買性能：
關(guān)鍵詞：采樣控制系統(tǒng)；提升技術(shù)；H∞設(shè)計(jì)；擾動抑制問題
中圖分類號：TP ?73 文猷標(biāo)識碼iA
1引言
提升技術(shù)因?yàn)槟芸紤]到采樣時(shí)刻之間信號的變化，給出準(zhǔn)確的L2誘導(dǎo)范數(shù)，所以已經(jīng)成為采樣控制系統(tǒng)H∞設(shè)計(jì)的主要手段。但是提升法的應(yīng)用是有條件的，當(dāng)條件不滿足時(shí)，提升法口。設(shè)計(jì)所得的結(jié)果實(shí)際上并不具有synthesis所想要的性能。
分析表明，只有加權(quán)系數(shù)的擾動抑制問題和輸入端加權(quán)函數(shù)的擾動抑制問題滿足提升法的應(yīng)用條件，因此可以用提升法來進(jìn)行H∞設(shè)計(jì)。本文通過具體實(shí)例，分別針對加權(quán)系教和輸入端加權(quán)函數(shù)的擾動抑制問題進(jìn)行了提升法H∞設(shè)計(jì)，并對設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行了仿真分析和進(jìn)一步的校驗(yàn)。其結(jié)果表明，提升設(shè)計(jì)能反映系統(tǒng)在采樣時(shí)刻間的性能。
2采樣系統(tǒng)中的提升計(jì)算
所謂“提升”，是指將一連續(xù)信號f(t)按采樣時(shí)間T切成互相銜接的各段信號。
這個(gè)序列也是一種離散信號，只是在函數(shù)空間L2[o，T）取值。即：
現(xiàn)設(shè)一連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為
這一系統(tǒng)的提升輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系可分析如下：
定義Xk為離散時(shí)刻的狀態(tài)XK=X（KT），則
當(dāng)用算子來表示時(shí)就是：
本中的Rx 是指狀態(tài)變量x的維數(shù)，以下均類同。
系統(tǒng)(1)的輸出方程則為
關(guān)于這些算子的更進(jìn)一步說明，可參閱文獻(xiàn)[3]。在采樣控制系統(tǒng)中，作為對象的這個(gè)系統(tǒng)尚有第2個(gè)輸入，即控制輸入u和第2個(gè)輸出y。這第2個(gè)輸入和輸出是通過保持器日和采樣器S與離散控制器kd相連接的。離散時(shí)刻的輸入(uk)輸出（yk）與狀態(tài)變量X之間的關(guān)系兢是常規(guī)的保持器離散化所得的關(guān)系式。根據(jù)式(3)，式(4)再加上這第2個(gè)輸入和輸出后的廣義對象的算子形式的傳遞函數(shù)為：
式中，對應(yīng)第2個(gè)輸入等于離散化系統(tǒng)的輸入
提升計(jì)算的最后一步是將這等效的算子形式的傳遞函數(shù)G變換為一個(gè)有限維的矩陣形式的傳函數(shù)陣Gd:
提升變換所得的Gd已是一個(gè)用矩陣來表示的離散對象了，接下來就是用常規(guī)的方法對離散系統(tǒng)進(jìn)行綜合( synthesis)了。具體計(jì)算的時(shí)候都已有標(biāo)準(zhǔn)的算法和程序。
3滿足提升應(yīng)用條件的日。設(shè)計(jì)
文獻(xiàn)[1]中給出了應(yīng)用提升法進(jìn)行H∞設(shè)計(jì)的2個(gè)前提條件：
① (A，B1)可控，(c1，A)可觀測。
② ( c2，A)可觀測。
條件①中的A陣是系統(tǒng)廣義對象的狀態(tài)陣，B1陣是對應(yīng)于第一個(gè)輸入的輸入陣，C1陣是對應(yīng)于第一個(gè)輸出的輸出陣。條件①是保證提升變換范數(shù)等價(jià)的條件，該條件保證了廠義對象的第一個(gè)輸入對狀態(tài)的可控性，以及第一個(gè)輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測性。條件②中的C2陣是對應(yīng)于第2個(gè)輸出的輸出陣。文獻(xiàn)[1]中通過具體的例子分析了該條件不滿足時(shí)提升設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的一些問題。
由于不滿足應(yīng)用條件①和②，提升法不能用于靈敏度問題和魯棒穩(wěn)定性問題。對于擾動抑制問題，常規(guī)的輸出加權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)不滿足條件①和②。
因?yàn)椴荒苡贸Ｒ?guī)加權(quán)函數(shù)的辦法來進(jìn)行設(shè)計(jì)，這里可參照非線性H∞設(shè)計(jì)的做法，用權(quán)系數(shù)來進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖1所示。
設(shè)圖1中對象的傳遞函數(shù)為
廣義對象G取為
表示性能的輸出現(xiàn)在是：
對象的輸出y=x2。式(9)和式(10)中的βy和βu為相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。
對采樣系統(tǒng)（圖1）的擾動抑制問題來說，采用權(quán)系數(shù)的H∞設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)反饋控制器使系統(tǒng)的L2增益小于或等于γ即：
若y=1，則式(ll)表明設(shè)計(jì)后加權(quán)（系數(shù)）輸出的能量有界，且小于擾動輸入w(t)的能量。
因?yàn)檫@是采樣系統(tǒng)，所以采用提升技術(shù)來進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)時(shí)先對廣義對象進(jìn)行提升，得到一個(gè)等價(jià)的H∞離散化對象，再設(shè)計(jì)H∞控制器。本例中在y=1的約束下選取不同的權(quán)系數(shù)組合（βy，βu），現(xiàn)以其中的2組數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)結(jié)果為例來進(jìn)行說明，見表l。
對象采用式(8)的連續(xù)模型，控制器則分別采用與表1對應(yīng)的提升設(shè)計(jì)所得的離散控制器，用Simulink對系統(tǒng)進(jìn)行混合仿真，可得階躍擾動作用下的輸出響應(yīng)y(t)和對象的輸u(t)（仿真曲線略）。由輸出響應(yīng)y(t)可以看到，權(quán)系數(shù)βu相差不太大，所以y的偏差就小。本例中權(quán)系數(shù)βu相差不太大，所以u(f)的曲線比較靠近。
設(shè)計(jì)時(shí)選用不同的權(quán)系數(shù)進(jìn)行比較以確定一個(gè)****的設(shè)計(jì)，例如本例中宜選表1中序號為1的設(shè)計(jì)，因?yàn)檫@時(shí)y(t)的偏差小而u(t)又不是太大。
現(xiàn)在來分析這個(gè)設(shè)計(jì)中提升變換的范數(shù)等價(jià)問題。本例故意選用窄帶寬設(shè)計(jì)，所以即使是離散化設(shè)計(jì)，其結(jié)果與考慮連續(xù)信號的采樣系統(tǒng)應(yīng)該是相接近的。例如，從輸出響應(yīng)y(t)也可以看到，在過渡過程的2s時(shí)間內(nèi)共有20個(gè)采樣(r=O l s)，所以即使換成離散化對象，其輸出y(k)構(gòu)成的階梯形波形與采樣系統(tǒng)的y(t)應(yīng)該是很接近的。因此這里用一（保持器）離散化對象P(z)來代替，與前面提升沒計(jì)的得到的離散控制器ki(z)構(gòu)成一個(gè)離散系統(tǒng)，然后用常規(guī)的方法計(jì)算該離散系統(tǒng)的日。范數(shù)用以驗(yàn)證提升計(jì)算所得的v值。
這2條幅頻特性都有很長一段平坦段，并略呈下降趨勢。事實(shí)上從H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)來說，設(shè)計(jì)結(jié)果足一條全通特性。當(dāng)然因?yàn)閮H用了H∞ 設(shè)計(jì)中的中心控制器，所以其奇異值特性（幅頻特性）到高頻段會有衰減，如圖2中的σmax曲線所示。當(dāng)用權(quán)系數(shù)來設(shè)計(jì)時(shí)，加權(quán)的性能輸出是y和u線性（向量）相加，因此這全通特性分配到這2個(gè)分量也是平坦的。根據(jù)圖形特點(diǎn)可知，這離散系統(tǒng)的H∞范數(shù)對應(yīng)于頻率特性在m =0時(shí)的值。由圖2可得
這個(gè)窄帶寬離散系統(tǒng)的H∞范數(shù)應(yīng)該是與采樣系統(tǒng)的L2誘導(dǎo)范數(shù)相接近。事實(shí)上提升計(jì)算所得的y值就是0 997 7（精確到小數(shù)4位）（見表1）。
這個(gè)例子表明，當(dāng)采用權(quán)系數(shù)時(shí)提升變換后的范數(shù)值γ等于原采樣系統(tǒng)的反映系統(tǒng)性能的L2.誘導(dǎo)范數(shù)。但利用權(quán)系數(shù)的設(shè)計(jì)足選取不同的權(quán)系數(shù)來進(jìn)行衡量，在這種設(shè)計(jì)中y值只是一個(gè)中間參考值，并不能代表擾動抑制問題中的真正的性能指標(biāo)，所以即使是采用H∞方法，也不是真正意義上的綜合。
4輸入端加權(quán)的擾動抑制問題
實(shí)際上，使用權(quán)函數(shù)來進(jìn)行設(shè)計(jì)才是H∞設(shè)計(jì)的精髓，用以達(dá)到頻域成形的設(shè)計(jì)目的。對于擾動問題，如果按常規(guī)的加權(quán)設(shè)計(jì)思想，對輸出進(jìn)行加權(quán)，是不滿足提升變換的應(yīng)用條件的。所以這里提出將權(quán)函數(shù)放在輸入端。對輸入端加權(quán)的擾動抑制問題，完全滿足條件①和②，所以可以用提升法進(jìn)行設(shè)計(jì)：
擾動抑制是指控制系統(tǒng)在對象輸入擾動w作用下的性能，對應(yīng)的傳遞函數(shù)為
當(dāng)用優(yōu)化方法來設(shè)計(jì)時(shí)，是先對式(13)的傳遞函數(shù)進(jìn)行加權(quán)，再求解下列的優(yōu)化問題：
采樣系統(tǒng)，如圖3所示。
式(14)的γ則是指系統(tǒng)的L2誘導(dǎo)范數(shù)。不過加權(quán)（函數(shù)）設(shè)計(jì)的概念（與連續(xù)系統(tǒng)）都是一樣的。
權(quán)函數(shù)W1具有低通特性，例如在本例中�。�
注意到W1的低頻段幅值為1，即：
所以根據(jù)式(14)求解所得的范數(shù)最小值v就是低頻段P（I+ KP）-1的幅值，也就是擾動抑制問題中的性能。H∞設(shè)計(jì)所起的作用是使y做到可能的最小值，即****性能。
用實(shí)線表示提升加權(quán)閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖其中，Pd為圖3
權(quán)函數(shù)形，如式(15)所示，則圖3所示系統(tǒng)的廣義對象為
5設(shè)計(jì)及仿真應(yīng)用
圖3中對象P取為
利用Matiab函數(shù)clhfsvn求解得H∞控制器為
對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的范數(shù)值為
由此可得擾動抑制的穩(wěn)態(tài)值為
如果將連續(xù)廣義對象G用保持器離散化得Gd2(z)，再將該Gd2 (Z)與式(18)中的控制器結(jié)合，所得閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)為γ=0. 001 3，與提升系統(tǒng)的H∞范數(shù)完全相等。
由此可以得出．當(dāng)2個(gè)假設(shè)條件①，②同時(shí)滿足時(shí)，提升算法確實(shí)給出了采樣系統(tǒng)的真正的L，濤導(dǎo)范數(shù)。
由式(20)可以得出，此采樣控制系統(tǒng)真正的擾動抑制性能γ也等于式(19)的提升設(shè)計(jì)的范數(shù)值，從而進(jìn)一步說明此時(shí)的H∞設(shè)計(jì)所得的系統(tǒng)得出的結(jié)果是正確的，并且反映了svnthesis所想要的性能。
取采樣周期T=0.1 s，對G(s)進(jìn)行提升計(jì)算，得提升變換后的Gd為[式(7)]中連續(xù)對象的保持器離散化。閉環(huán)系統(tǒng)奇異值Bode圖，如圖4所示。
由圖4可知，H∞設(shè)計(jì)結(jié)果符合常規(guī)的設(shè)計(jì)的概念，且是可以校驗(yàn)的。
階躍擾動式下的響應(yīng)，如圖5所示。
實(shí)線為采樣系統(tǒng)在單位階躍擾動下的輸出響應(yīng)z(t)，階梯形曲線（虛線）為常規(guī)離散設(shè)計(jì)結(jié)果。
可以看出，常規(guī)離散設(shè)計(jì)只能保證各離散時(shí)刻的值與實(shí)際值相一致，采樣時(shí)刻之間實(shí)際的響應(yīng)z（t）曲線則與離散設(shè)計(jì)的結(jié)果有較大的出入，因此要反映采樣系統(tǒng)的真正性能，還需要用提升技術(shù)來解決。
6結(jié)語
提升變換不適用于常規(guī)加權(quán)函數(shù)的日。設(shè)計(jì)，只有加權(quán)系數(shù)的擾動問題和輸入端加權(quán)函數(shù)的擾動抑制問題滿足提升法的應(yīng)用條件。但加權(quán)系數(shù)的擾動抑制問題得到的設(shè)計(jì)結(jié)果只是一個(gè)中間參考值，并不能代表擾動抑制問題中的真正的性能指標(biāo)，也不是真正意義上的H∞綜合。
對輸入端加權(quán)函數(shù)的擾動抑制問題的設(shè)計(jì)結(jié)果表明，設(shè)計(jì)結(jié)果符合常規(guī)的H∞設(shè)計(jì)的概念，且是可以校驗(yàn)的。進(jìn)一步的應(yīng)用仿真表明，提升設(shè)計(jì)確實(shí)優(yōu)于傳統(tǒng)的離散設(shè)計(jì)，能夠反映采樣系統(tǒng)在采樣時(shí)刻之間的真實(shí)性能。由于很多工程實(shí)際問題，都是由計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的控制，相應(yīng)的系統(tǒng)都應(yīng)該按采樣系統(tǒng)來進(jìn)行設(shè)計(jì)，本文得出的結(jié)論為采樣系統(tǒng)的提升技術(shù)在實(shí)際工程中的應(yīng)用提供一定的方法依據(jù)，起到了很好的指導(dǎo)作用。
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